3.25 \(\int (a+b \coth ^2(x))^{3/2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=88 \[ -\frac{1}{2} b \coth (x) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}+(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \coth (x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}\right )-\frac{1}{2} \sqrt{b} (3 a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \coth (x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}\right ) \]

[Out]

-(Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]])/2 + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]
*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] - (b*Coth[x]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])/2

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0894205, antiderivative size = 88, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 12, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.5, Rules used = {3661, 416, 523, 217, 206, 377} \[ -\frac{1}{2} b \coth (x) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}+(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \coth (x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}\right )-\frac{1}{2} \sqrt{b} (3 a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \coth (x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Coth[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]])/2 + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]
*Coth[x])/Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] - (b*Coth[x]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])/2

Rule 3661

Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x]
, x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(a + b*(ff*x)^n)^p/(c^2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ
[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && (IntegersQ[n, p] || IGtQ[p, 0] || EqQ[n^2, 4] || EqQ[n^2, 16])

Rule 416

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(d*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c
+ d*x^n)^(q - 1))/(b*(n*(p + q) + 1)), x] + Dist[1/(b*(n*(p + q) + 1)), Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 2)
*Simp[c*(b*c*(n*(p + q) + 1) - a*d) + d*(b*c*(n*(p + 2*q - 1) + 1) - a*d*(n*(q - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; F
reeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 1] && NeQ[n*(p + q) + 1, 0] &&  !IGtQ[p, 1] && IntB
inomialQ[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rubi steps

\begin{align*} \int \left (a+b \coth ^2(x)\right )^{3/2} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (a+b x^2\right )^{3/2}}{1-x^2} \, dx,x,\coth (x)\right )\\ &=-\frac{1}{2} b \coth (x) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}-\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{-a (2 a+b)-b (3 a+2 b) x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\coth (x)\right )\\ &=-\frac{1}{2} b \coth (x) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}+(a+b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\coth (x)\right )-\frac{1}{2} (b (3 a+2 b)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\coth (x)\right )\\ &=-\frac{1}{2} b \coth (x) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}+(a+b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-(a+b) x^2} \, dx,x,\frac{\coth (x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}\right )-\frac{1}{2} (b (3 a+2 b)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\coth (x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}\right )\\ &=-\frac{1}{2} \sqrt{b} (3 a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \coth (x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}\right )+(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \coth (x)}{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}\right )-\frac{1}{2} b \coth (x) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.24482, size = 161, normalized size = 1.83 \[ \frac{1}{2} \left (-b \coth (x) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}-(a+b)^{3/2} \log \left (\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \coth ^2(x)}+a-b \coth (x)\right )+(a+b)^{3/2} \log \left (\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \coth ^2(x)}+a+b \coth (x)\right )-\sqrt{b} (3 a+2 b) \log \left (\sqrt{b} \sqrt{a+b \coth ^2(x)}+b \coth (x)\right )+(a+b)^{3/2} (-\log (1-\coth (x)))+(a+b)^{3/2} \log (\coth (x)+1)\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Coth[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(-(b*Coth[x]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]) - (a + b)^(3/2)*Log[1 - Coth[x]] + (a + b)^(3/2)*Log[1 + Coth[x]] - Sqrt[b
]*(3*a + 2*b)*Log[b*Coth[x] + Sqrt[b]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]] - (a + b)^(3/2)*Log[a - b*Coth[x] + Sqrt[a + b]*S
qrt[a + b*Coth[x]^2]] + (a + b)^(3/2)*Log[a + b*Coth[x] + Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Coth[x]^2]])/2

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.02, size = 578, normalized size = 6.6 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*coth(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

1/6*((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(3/2)-1/4*b*((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(1/2)*coth(x)-3/4*
b^(1/2)*ln(((1+coth(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(1/2))*a-1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*
b-2*(1+coth(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+coth(x)))*a+1/2*((1+coth(x))^2
*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(1/2)*a-1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*b-2*(1+coth(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+coth(x))^2*b-2*(
1+coth(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+coth(x)))*b-1/2*b^(3/2)*ln(((1+coth(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x)
)*b+a+b)^(1/2))+1/2*((1+coth(x))^2*b-2*(1+coth(x))*b+a+b)^(1/2)*b-1/6*((coth(x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(3
/2)-1/4*b*((coth(x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*coth(x)-3/4*b^(1/2)*ln(((coth(x)-1)*b+b)/b^(1/2)+((coth(
x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(1/2))*a+1/2*ln((2*a+2*b+2*(coth(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((coth(x)-1)^2*b+2*(coth
(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(coth(x)-1))*(a+b)^(1/2)*a-1/2*((coth(x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*a+1/2*ln((2*a+
2*b+2*(coth(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((coth(x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(coth(x)-1))*(a+b)^(1/2)*b-1/2*
ln(((coth(x)-1)*b+b)/b^(1/2)+((coth(x)-1)^2*b+2*(coth(x)-1)*b+a+b)^(1/2))*b^(3/2)-1/2*((coth(x)-1)^2*b+2*(coth
(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*b

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \coth \left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*coth(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*coth(x)^2 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 4.5304, size = 14901, normalized size = 169.33 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*coth(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b
)*cosh(x)^2 - a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(((a*
b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 + 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)
^6 + 2*(a*b^2 + 2*b^3 + 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + 3*(a*b^2 + 2*b
^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b
+ 4*a*b^2 + 6*b^3 + 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 + 10*(a*b^2 + 2*b
^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 2*(a^3 -
3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 + 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 - a^3 + 3*a*b^2 + 2*
b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^
5 + b^2*sinh(x)^6 + 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x)
)*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 + 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*si
nh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 + 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*s
qrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) +
4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 + 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 - (a^3
- 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3
*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((3*a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(3*a + 2*
b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*sinh(x)^4 - 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 - 3*a - 2*
b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(x)^3 - (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*co
sh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 - 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x)
^2 - a + 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*cosh
(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 - (a
- 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^
2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)) + ((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (
a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a
+ b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(-((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*si
nh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sin
h(x)^2 - 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))
- 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2
- a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cos
h(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1), 1/4*(2*((3*a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*
(3*a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*sinh(x)^4 - 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 -
3*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(x)^3 - (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(-b)*arctan(s
qrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 -
a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)
*sinh(x)^4 - 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a - b)*
cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a + b)*
cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a +
b)*sqrt(a + b)*log(((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 + 2*
(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 + 2*(a*b^2 + 2*b^3 + 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cos
h(x)^3 + 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*
cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 + 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh
(x)^5 + 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*
a*b^2 + b^3 - 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 + 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)
^4 - a^3 + 3*a*b^2 + 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 +
6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 + 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 + b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*co
sh(x)^3 + 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 + 18*b^2*cosh(x)^2 -
a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 + 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b
^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*
sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 + 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 +
6*b^3)*cosh(x)^3 - (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*s
inh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((a + b)*cosh
(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a - b
)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(-((a + b)*cosh(x)^4 + 4
*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a)*sinh(x)^2 + sqrt(
2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a
+ b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(
x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + b)*sqrt(
((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*c
osh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) +
1), -1/4*(2*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3
*(a + b)*cosh(x)^2 - a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*
arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2
+ (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^
2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 - (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 - a^2
+ a*b + 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 - (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(
x))) + 2*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a
+ b)*cosh(x)^2 - a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arct
an(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh
(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 +
(a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 -
(a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - ((3*a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(3*a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*si
nh(x)^4 - 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 - 3*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(x)
^3 - (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)
^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 - 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x)^2 - a + 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(
cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(c
osh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 - (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(c
osh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh
(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 +
(a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + s
inh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1), -1/2*(((a + b)*
cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a
- b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh
(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 -
a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 +
(a*b + b^2)*sinh(x)^4 - (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 - a^2 + a*b + 2*b^2)*sinh(x)
^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 - (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + ((a + b)*cosh(x
)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a - b)*
sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 +
2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^
2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(
a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a - b)*cosh(x))*sinh(x)
+ a + b)) - ((3*a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(3*a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*sinh(x)^4 - 2*(3*a + 2*b)*
cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 - 3*a - 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(x)^3 - (3*a + 2*b)*cosh(x)
)*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-b)*sqrt((
(a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4
+ 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a + b)*sin
h(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x
) + b*sinh(x)^2 + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sin
h(x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 - 1)*sinh(x)^2 - 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh
(x)^3 - cosh(x))*sinh(x) + 1)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (a + b \coth ^{2}{\left (x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*coth(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral((a + b*coth(x)**2)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: TypeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*coth(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError